Reinhard Gobrecht
Philosophie der Mathematik
Mathematische Philosophie
Verlag: Books on Demand
Norderstedt 2024
Taschenbuch mit 50 Farbabbildungen
228 Seiten, Preis 29,50 €
ISBN: 9783757822330
Inhaltsbeschreibung:
Das Buch beinhaltet philosophische Gedanken zu mathematischen Inhalten aber auch zur Mathematik selbst. Darüber hinaus geht es um mathematische und logische Denkweisen in der Philosophie. Die Mathematik hilft uns, die veränderliche Welt zu beschreiben. Sie liefert die mathematischen Gesetze der Naturgesetze; ihre Gegenstände sind selber zeitlose, unveränderliche Gegenstände, konstante Ideen, wie z. B. Kreis und Dreieck in der Geometrie. Mathematische und logische Denkweisen können helfen, philosophische Begriffe scharf einzugrenzen und philosophische Themen strenger zu strukturieren. Zwischen Mathematik und Philosophie gibt es Berührpunkte. Was haben beide, Mathematik und Philosophie, gemeinsam? Ein gemeinsamer Anteil ist der logische Anspruch. Wo befinden sich die Unterschiede? Gibt es methodische Unterschiede zwischen einer mathematischen und einer philosophischen Arbeitsweise? Das kann man hier erfahren. Das vorliegende Buch soll mathematisch Interessierte und philosophisch Interessierte anregen. Es ist einerseits ein Versuch einer Philosophie der Mathematik, die dem Mathematiker Anregung geben soll für philosophische Gedankengänge, andererseits soll das Buch aber auch den Philosophen anregen, die mathematischen Methoden und Schönheiten der Mathematik näher kennen zu lernen und schätzen zu lernen. Damit soll insgesamt auch auf eine Berührzone zwischen Mathematik und Philosophie aufmerksam gemacht werden.
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Eine Absicht des Buches: Motivation zum Betreiben von Mathematik - Didaktik der Mathematik
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Kerngedanken des Buches -
Philosophie der Mathematik unter folgenden Hauptgesichtspunkten und zu folgenden Themen:
- Philosophie der Mathematik und Logik, mathematische Philosophie
- Gemeinsamkeiten von Philosophie und Mathematik
- Unterschiede zwischen Philosophie und Mathematik
- Schnittstellen und Schnittmengen zwischen Philosophie, Logik und Mathematik
- Seinsprinzipien und logische Prinzipien - Modalitäten von Sein und Logik
- Gegenstände der Mathematik - Gegenstände des Seins
- Zusammenhänge zwischen Mathematik, Logik und Naturgesetzen
- Unendlichkeiten im Denken und Sein - Unendlichkeiten in der Mathematik
- Unendliche Mengen und Bezüge zum Sein und zur Wirklichkeit, Ganzes und Teil
- Unendliche Kardinalzahlen und Mengen höherer Stufe
- Konstruktive Existenz von Unendlichem, Aktualität und Potenzialität des Unendlichen
- Subjektive Vorstellungen - objektive Gedanken - Ideen vom Allgemeinen
- Philosophie und reine Begriffe - Mathematik und konstruierbare oder symbolisierbare Begriffe
- Erkenntnisgegenstände, Erkenntnisstufen und Erkenntnisweisen, anthroposophische Gesichtspunkte
- Inkommensurabilität und Transzendenz in der Mathematik
- Primzahlen, vollkommene Zahlen, Dreieck-, Rechteck- und Quadratzahlen, etc.
- Wechselwegnahme, Magische Quadrate und Atome geradliniger Flächen
- Erkenntnisse von Pappus, Thales und Pythagoras, Euklid, Platon, Aristoteles, Plotin, Frege, Kant u. a.
- Platonische Körper und binomische Formeln
- Kreiszahl und Transzendenz, komplexe Zahlen
- Schubfachprinzip und Bezüge zur Metaphysik
- Disjunktive logische und metaphysische Aussagen
- Das Widerspruchsprinzip als Erkenntnisgrund von Verschiedenheit im Sein
- Axiome und Paradoxien, Abstufungen der Wahrheit, Unmöglichkeit von Gehaltserweiterungen
- Induktion und Analogie, Wahrheitsübertragung, Kontextbezogenheit bei Axiom und Beweis
- Das Woraus bei Beweis und Werden - logische Ebene und ontologische Ebene
- Schwierigkeiten bei universellen und existenziellen Aussagen
- Definierbarkeit, Syntax und Semantik, Wahrheitstafeln
- Fibonacci und Mandelbrot, Goldener Schnitt und Zusammenhänge zwischen Mathematik und Natur
- Stetigkeit und Kontinuität in der Mathematik und in der Wirklichkeit
-
Die Zahlen als Abstrakta von Anzahlen der Dinge und als Elemente des Plans vom Sein vor den Dingen
u. v. a.
Philosophie der Mathematik - Belegstellen von folgenden Philosophen und Mathematikern:
Albert - Albertus Magnus - Al-Farabi - Archimedes - Aristoteles - Augustinus - Bolzano - Cicero - Descartes - Epikur - Euklid - Frege - Hume - Kant - Leibniz - Locke - Mandelbrot - Mill - Nikolaus von Kues - Pappus - Pascal - Platon - Plotin - Popper - Pythagoras - Russell - Schlick - Tarski - Thales - Whitehead - Wittgenstein - Wolff - Zenon
Auswahl von Abbildungen zur Philosophie der Mathematik:
Philosophie der Mathematik - Mathematische Philosophie
- Quadratverdopplung nach Platons Menon
- Ein platonischer Körper nach Platons Timaios
- Fibonacci Quadrate
- Höhenmessung der Pyramiden durch Thales
- Höhensatz des Euklid
- Ein auserlesenes Dreieck Platons
- Satz des Pythagoras
- Satz des Thales
- Wechselwegnahme - Euklidischer Algorithmus
- Wurzelspirale nach Platons Theätet
- Dürer Quadrat
Philosophie der Mathematik - Didaktik der Mathematik:
Warum Mathematik die Seele nach aufwärts treibt zur Wahrheit hin.
Mathematik gehört ihrer Natur nach zu denjenigen Wissensfächern, die zur Vernunfterkenntnis hinleiten.
Die sinnliche Wahrnehmung erkennt über die Gegenstände Großes und Kleines. Dies ist ein Anlass danach zu fragen, was überhaupt Großes und was überhaupt Kleines ist. Die Wahrnehmung kann also unser Denkvermögen anregen. Ähnlich verhält es sich, wenn wir einen bestimmten Gegenstand wahrnehmen oder wenn wir mehrere Gegenstände derselben Art davon wahrnehmen. Dies ist ein weiterer Anlass für die Vernunft zu fragen, nämlich was ist überhaupt Eines und was sind Mehrere.
Wenn durch die Anschauung alles in voller Eindeutigkeit und Reinheit aufgefasst und erkannt werden könnte, gäbe es keine Anreize für die Aktivität der Vernunft. Dadurch aber, dass scheinbare Widersprüche auftauchen, dadurch also, dass Gegenteiliges angeschaut werden kann und wahrgenommen werden kann, nämlich Großes und Kleines, Eines und Mehreres, dadurch drängen sich der Seele Zweifel auf und sie muss nach einem Richter Ausschau halten.
Was ist eigentlich Eines oder Vieles?
Die Seele muss also weiter forschen, sie muss fragen: Was ist denn eigentlich Eines oder Vieles? Die Vernunft ist also gefragt. Die reine Anschauung reicht nicht aus für die Betrachtung des Seienden. Die forschende Seele muss also noch auf einem anderen Weg hingeleitet werden zur Betrachtung des Seienden. Dieser andere Weg führt über die Verstandestätigkeit zur Vernunft.
Man kann daher sagen, dass der Anschauung alleine keine Zugkraft nach dem Sein beiwohnt. Die Vernunft letztlich ergänzt die Anschauung und verleiht die Zugkraft nach dem Sein. So führt das Ganze zu einer Wissenschaft, die sich auf Eines und Vieles beziehen muss, eine Wissenschaft der mathematischen Verstandestätigkeit, die zur reinen Vernunfterkenntnis hinleitet, dies ist die Mathematik.
Die Mathematik erweist sich daher als zugkräftig zum Sein hin.
Dem wirklichen Sein, den Tatsachen hat aber die Logik zu dienen. Der Zweck einer Logik kann kein Selbstzweck zum reinen Formalismus hin sein, sondern hat zu gewährleisten, dass wir uns zu den Tatsachen und zum Sein hin wahre Urteile bilden können. Logik ist Voraussetzung für Mathematik.
Damit ist die Mathematik auch zugkräftig zur Wahrheit hin.
Mathematik wird fast immer gebraucht, sie hilft uns die Welt und die Naturgesetze, die Bewegung der Planten und der Galaxien zu verstehen. Sie dient dem Naturwissenschaftler, aber auch dem Philosophen.
Mathematik hilft der Seele den Weg zu erleichtern Sie hilft z. B. dem Philosophen bei der Erfüllung seiner eigentlichen Aufgabe, sich nämlich über das Gebiet der Veränderung und des Werdenden zu erheben um die Gesetzmäßigkeiten des Seins zu erfassen. Mathematik hilft der Seele den Weg zu erleichtern, um über das Werden zum Sein und zur Wahrheit zu kommen.
Mathematik nötigt die Seele von den angeschauten Anzahlen zu abstrahieren und zu den reinen Zahlen zu kommen, also von der Anschauung fortzuschreiten zum reinen Denken und sich somit der reinen Wahrheit zu nähern. Mathematik treibt also die Seele kräftig nach aufwärts. Mathematische Wahrheiten sind zeitlos und damit ewig.
Diese Gedanken sind fast 2500 Jahre alt und gehen zurück auf Sokrates. In Platons Staat entwickelt Sokrates diese Gedanken im 7. Buch. Im 6. Buch, im Liniengleichnis werden dazu ferner vier Abschnitte einer Linie beschrieben, welcher vier Seelenzustände entsprechen. Der oberste Seelenzustand ist die Vernunfttätigkeit, gefolgt von der mathematischen Verstandestätigkeit. Die beiden untersten Seelenzustände entsprechen dem Glauben und der bildlichen Erkenntnis. Die Objekte der Seelenzustände haben unterschiedlichen Anteil an der Wahrheit, sodass der mathematischen Verstandestätigkeit ein relativ hoher Wahrheitsanteil zukommt, der der Vernunft fast angenähert ist.
Über der Vernunft steht die Idee des Guten. Die Idee des Guten verleiht den Dingen Wahrheit, die erkannt werden. Sie gibt dem Erkennenden die Kraft zum Erkennen. Die Idee des Guten ist die Ursache der Erkenntnis und Wahrheit. Erkenntnis und Wahrheit sind nach Platons Sonnengleichnis verwandt mit dem Guten. Sie haben an der Idee des Guten teil. Erkenntnis oder Wahrheit aber selbst für das Gute zu halten ist nicht recht, denn das Gute steht selbst seinem Verhältnis nach auf einer noch höheren Stufe.
Weiterführende Literatur: Platon, Der Staat 6. und 7. Buch
Mathematik führt das Denken zur Wahrheit.
Inhaltsverzeichnis und Einführung ansehen, im Buch probelesen:
